1 %矩阵的满秩分解
 2 clear
 3 %设输入矩阵为M（P152 例4.1.1）
 4 A = [1,4,-1,5,6;
 5     2,0,0,0,-14;
 6     -1,2,-4,0,1;
 7     2,6,-5,5,-7]
 8 A1 = rref(A);    %将矩阵A化成行最简形式保存在A1中
 9 [m,n]=size(A);    %获取矩阵A的大小：m行n列
10 B0= [];%生成一个空向量
11 C0= [];%生成一个空向量
12 for i=1:m    %依次扫描矩阵m行
13    flag=1;
14    for j=1:n    %依次扫描矩阵n列
15        if A1(i,j)==1    %若A1(i, j)等于1       
16            for k=1:i-1        %固定j列，扫描此列的第1行到i-1行元素
17                if A1(k,j)~=0    %判断是否全为0
18                    flag=0;    %若不全为0，则将flag置为0（说明此列不是单位矩阵的列）
19                    break;
20                end
21            end
22            for k=i+1:m        %固定j列，扫描此列的第i+1行到m行（即最后一行）元素
23                if A1(k,j)~=0    %判断是否全为0
24                    flag=0;    %若不全为0，则将flag置为0（说明此列不是单位矩阵的列）
25                    break;
26                end
27            end
28            if flag==1         %若flag为1（不为0），则说明此列是【矩阵的行最简形式矩阵】的单位矩阵的列
29                B0=[B0,A(:,j)];    %将矩阵A的j列加到B0列向量之后
30                C0=[C0;A1(i,:)];    %将矩阵A1的i行加到C0行向量之后，
31            end
32        end       
33    end
34 end
35 [m1,n1]=size(B0);    %获取矩阵B0的大小：m1行n1列
36 [m2,n2]=size(C0);    %获取矩阵C0的大小：m2行n2列
37 B=B0(:,1:n1)        %将矩阵B0的第1列到最后一列赋值给矩阵B
38 C=C0(1:m2,:)        %将矩阵C0的第1行到最后一行赋值给矩阵C
39 %验证：BC=A
40 A_1= B*C

1 %矩阵的正交三角分解
2 clear;
3 A = [-3,1,-2;1,1,1;1,-1,0;1,-1,1]
4 [Q, R] = qr(A) %正交三角分解，Q为酉矩阵，R为正交下三角矩阵
5 %验证:QR是否为A，以及Q是否为酉矩阵
6 A_1 = Q * R
7 Q_1 = Q * conj(Q.\')

1 %矩阵的奇异值分解
2 clear,clc
3 A = [1,1;0,0;1,1];
4 [U,S,V] = svd(A) %返回一个与A同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足A= U*S*V~H。
5                  %若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。
6 
7 %验证A=USV~H
8 A = [1,1;0,0;1,1]
9 A_1 = U*S*conj(V.\') 

1 %矩阵的极分解
2 clear,clc;
3 A = [2,1,2;0,1,3;1,0,0];
4 H1 = sqrtm(A*A\') %返回矩阵的主要平方根
5 U1 = inv(H1)*A %求逆
6 A_1 = H1*U1 
7 H2 = sqrtm(A)
8 U2 = A*inv(H2)
9 A_2 = U2*H2

 1 %矩阵的谱分解
 2 clear,clc
 3 A = [4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1]; %单纯矩阵
 4 %A = [-2i,4,-2;-4,-3i,-3i;2,-2i,-5i]; %正规矩阵
 5 [V,D] = eig(A) %求特征值与特征向量
 6 
 7 %正交归一化
 8 V_C = orth(V) ;%特征向量正交化
 9 V_C_Z = V_C./repmat(sqrt(sum(V_C.^2,1)),size(V_C,1),1); %特征向量列归一化
10 
11 A_H = A * conj(A\');%求A的共轭转置
12 if A == A_H | A == -(A_H)  %判断是否是正规矩阵
13     [m,n] = size(V_C_Z);
14     G2 = zeros(m,n); 
15     for i=1:n
16         G1 = V_C_Z(:,i) * conj(V_C_Z\');
17         G2 = G2 + D(i, i) * G1;
18     end
19     G_Z = G2
20 else  %否则是单纯矩阵
21     P_1 = (inv(V))\';
22     [m,n] = size(P_1);
23     G3 = zeros(m,n);
24     for i=1:n 
25         G4 = V(:,i) * (P_1(:,i))\';
26         G3 = G3 + D(i,i)* G4;
27     end 
28     G_R = G3
29 end