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1、引子

朴素贝叶斯方法是一种使用先验概率去计算后验概率的方法，其中朴素的意思实际上指的是一个假设条件，后面在举例中说明。本人以为，纯粹的数学推导固然有其严密性、逻辑性的特点，但对我等非数学专业的人来说，对每一推导步骤的并非能透彻理解，我将从一个例子入手，类似于应用题的方式，解释朴素贝叶斯分类器，希望能对公式的理解增加形象化的场景。

2、实例

最近“小苹果”很火，我们就以苹果来举例说，假设可以用三个特征来描述一个苹果，分别为“尺寸”、“重量”和“颜色”；其中“尺寸”的取值为小、大，“重量”的取值为轻、重，“颜色”取值为红、绿。对这三个特征描述的苹果中，对苹果的按味道进行分类，可取的值为good、bad。

朴素贝叶斯分类器就要要解决如下一个问题，已知苹果味道取good和bad的概率，那么如果给定一个一组苹果的特征，那么这个苹果味道取good和bad的概率是多少？这是个典型的逆概率的问题。

尺寸（size） 大 小 大 大 小 小
重量（weight） 轻 重 轻 轻 重 轻
颜色（color） 红 红 红 绿 红 绿
味道（taste） good good bad bad bad good

以上给出了6个苹果的特征描述及其口味，那个一个大而重的红苹果，能否估计出它的味道是good还是bad？

这里我们先解释下朴素的含义，朴素就是这样一个假设：描述苹果的三个特征是相互独立的。这个假设会对后面的计算带来极大的方便。但是肯定有人会想，对这个例子来说，这个假设就不成立嘛，大小和重量从直觉上我们都会感到是两个正相关的特征。是的，朴素的假设在实际世界中是较难满足的，但是实际使用中，基于这个假设作出预测的正确率是在一个可接受的范围。

3、基本方法

(P(A|B)) 表示在确定B的情况下，事件A发生的概率，而在实际情况中，我们或许更关心(P(B|A))但是只能直接获得(P(A|B)) ，此时我们需要一个工具可以把(P(A|B)) 和(P(B|A))相互转化， 贝叶斯定理就是这样一个公式，下面给出贝叶斯定理：
[P(B|A) = \frac{{P(A|B)P(B)}}{{P(A)}}]

对苹果分类的问题，有三个特征(F = { {f_1},{f_2},{f_3}} )，两种分类(C = { {c_1},{c_2}} )，根据贝叶斯公式有给定特征条件下，特征为({c_i})的概率
[P({c_i}|{f_1}{f_2}{f_3}) = \frac{{P({f_1}{f_2}{f_3}|{c_i})P({c_i})}}{{P({f_1}{f_2}{f_3})}}]
使得上式取得最大值的({c_i})即为分类结果，由于对给定训练集来说，({P({f_1}{f_2}{f_3})})为常数，那么就转为为求
[{P({f_1}{f_2}{f_3}|{c_i})P({c_i})}]
的最大值。
朴素贝叶斯的假设在这里就体现了，由于特征值相互独立，那么上式可以转化为
[P({f_1}|{c_i})P({f_2}|{c_i})P({f_3}|{c_i})P({c_i})]
整个问题就变为求使得上式取最大值的({c_i})，而上式中的每一项都可以从训练集中得到。

最后讨论下Laplace校准，如果某一个特性值在训练集中出现的次数为0，那么以上我们讨论的公式就没有意义了，以为对所有的类型结果都是0。当然对训练集进行选择可以避免这种情况，但是如果避免不了就需要进行Laplace校准。其实很简单，把所有出现特征出现的次数都加上1，即为Laplace校准。

4、R语言实现

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# 朴素贝叶斯分类器
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library(plyr)
library(reshape2)

#1、根据训练集创建朴素贝叶斯分类器
#1.1、生成类别的概率

##计算训练集合D中类别出现的概率，即P{c_i}
##输入：trainData 训练集，类型为数据框
##      strClassName 指明训练集中名称为strClassName列为分类结果
##输出：数据框，P{c_i}的集合，类别名称|概率（列名为 prob）
class_prob <- function(trainData, strClassName){
  #训练集样本数
  length.train <- nrow(trainData)
  dTemp <- ddply(trainData, strClassName, "nrow")
  dTemp <- ddply(dTemp, strClassName, mutate, prob = nrow/length.train)
  dTemp[,-2]
}

##1.2、生成每个类别下，特征取不同值的概率
##计算训练集合D中,生成每个类别下，特征取不同值的概率，即P{fi|c_i}
##输入：trainData 训练集，类型为数据框
##      strClassName 指明训练集中名称为strClassName列为分类结果，其余的全部列认为是特征值
##输出：数据框，P{fi|c_i}的集合，类别名称|特征名称|特征取值|概率（列名为 prob）
feature_class_prob <- function(trainData, strClassName){
  # 横表转换为纵表
  data.melt <- melt(trainData,id=c(strClassName))
  # 统计频数
  aa <- ddply(data.melt, c(strClassName,"variable","value"), "nrow")
  # 计算概率
  bb <- ddply(aa, c(strClassName,"variable"), mutate, sum = sum(nrow), prob = nrow/sum)
  # 增加列名
  colnames(bb) <- c("class.name",
                    "feature.name",
                    "feature.value",
                    "feature.nrow",
                    "feature.sum",
                    "prob")
  # 返回结果
  bb[,c(1,2,3,6)]
}

#feature_class_prob(iris,"Species")


## 以上创建完朴素贝叶斯分类器

## 2、使用生成的朴素贝叶斯分类器进行预测
##使用生成的朴素贝叶斯分类器进行预测P{fi|c_i}
##输入：oneObs 数据框，待预测的样本，格式为 特征名称|特征值
##      pc 数据框，训练集合D中类别出现的概率，即P{c_i}  类别名称|概率
##      pfc 数据框，每个类别下，特征取不同值的概率，即P{fi|c_i}
##                  类别名称|特征名称|特征值|概率
##输出：数据框，待预测样本的分类对每个类别的概率，类别名称|后验概率（列名为 prob）
pre_class <- function(oneObs, pc,pfc){
  colnames(oneObs) <- c("feature.name", "feature.value")
  colnames(pc) <- c("class.name","prob")
  colnames(pfc) <- c("class.name","feature.name","feature.value","prob")
  
  # 取出特征的取值的条件概率
  feature.all <- join(oneObs,pfc,by=c("feature.name","feature.value"),type="inner")
  # 取出特征取值的条件概率连乘
  feature.prob <- ddply(feature.all,.(class.name),summarize,prob_fea=prod(prob))  #prod为连乘函数
  
  #取出类别的概率
  class.all <- join(feature.prob,pc,by="class.name",type="inner")
  #输出结果
  ddply(class.all,.(class.name),mutate,pre_prob=prob_fea*prob)[,c(1,4)]
}


##3、数据测试
##用上面苹果的数据作为例子进行测试
#训练集
train.apple <-data.frame(
  size=c("大","小","大","大","小","小"),
  weight=c("轻","重","轻","轻","重","轻"),
  color=c("红","红","红","绿","红","绿"),
  taste=c("good","good","bad","bad","bad","good")
  )
#待预测样本
oneObs<-data.frame(
  feature.name =c("size", "weight", "color"),
  feature.value =c("大","重","红")
)

#预测分类
pc <- class_prob(train.apple,"taste")
pfc <- feature_class_prob(train.apple,"taste")
pre_class(oneObs, pc,pfc)

结果为
class.name pre_prob
1 bad 0.07407407
2 good 0.03703704
可见该苹果的口味为bad

5、朴素贝叶斯分类小结

1、属于有监督的学习（有训练集）；
2、主要处理离散类型的数据，如果为连续数据可先进行离散化；
3、训练集的特征取值要尽量完备，如果有缺失需进行预处理（Laplace校准）；
4、关于特征值相互独立的假设，在实际问题中一般无法满足，但基于此假设做的预测是可以接受的。

关于其他的朴素贝叶斯介绍可见：
http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/12/naive_bayes_classifier.html
http://www.cnblogs.com/leoo2sk/archive/2010/09/17/1829190.html