MATLAB数值积分法

作者：凯鲁嘎吉 - 博客园
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一、实验目的

许多工程技术和数学研究中要用到定积分，如果无法直接算不出精确值（如含在积分方程中的积分）或计算困难但可用近似值近似时，就用数值积分法方法加以解决。常用的算法有：复化梯形、辛甫生（Simpson）、柯特斯（Cotes）求积法; 龙贝格(Romberg)算法；高斯（Gauss）算法。

二、实验原理

三、实验程序

下面给出复化Ｓimpson求积法程序（梯形及柯特斯复化求积分程序可比照编制）：

四、实验内容

选一可精确算值的定积分，用复化的梯形法及复化Ｓimpson求积法作近似计算，并比较结果。

五、解答

1.(程序)

xps.m:

function y=xps(x)
y=x^(3/2);

复化梯形公式：

   trap.m:

function [T,Y,esp]=trap(a,b,n)
h=(b-a)/n;
T=0;
for i=1:(n-1)
    x=a+h*i;
    T=T+xps(x);
end
T=h*(xps(a)+xps(b))/2+h*T;
syms x
Y=vpa(int(xps(x),x,a,b),8);
esp=abs(Y-T);

复化辛甫生（Simpson）公式：

   simpson.m:

function [SI,Y,esp]=simpson(a,b,m)
%a,b为区间左右端点，xps(x)为求积公式，m*2等分区间长度
h=(b-a)/(2*m);
SI0=xps(a)+xps(b);
SI1=0;
SI2=0;
for i=1:((2*m)-1)
    x=a+i*h;
    if mod(i,2)==0
        SI2=SI2+xps(x);
    else 
        SI1=SI1+xps(x);
    end
end
SI=h*(SI0+4*SI1+2*SI2)/3;
syms x
Y=vpa(int(xps(x),x,a,b),8);
esp=abs(Y-SI);

2.(运算结果)

>> [T,Y,esp]=trap(1,2,8)

T =

    1.8636

 
Y =
 
1.8627417
 
 
esp =
 
0.0008089288247354886607354274019599
>> [SI,Y,esp]=simpson(1,2,8)

SI =

    1.8627

 
Y =
 
1.8627417
 
 
esp =
 
0.000000020499792974248975951923057436943

从计算结果看：复化辛普森公式更精确。

3.(拓展（方法改进、体会等）)

MATLAB中有一些内置函数，用于实施自适应求积分，都是根据Gander和Gautschi构造的算法编写的。

quad：使用辛普森求积，对于低精度或者不光滑函数效率更高

quadl：该函数使用了称为洛巴托求积（Lobatto Quadrature）的算法，对于高精度和光滑函数效率更高

使用方法：

I=quad(func,a,b,tol);

func是被积函数，a，b是积分限，tol是期望的绝对误差（如果不提供，默认为1e-6）

例如对于函数f=xe^x在[0,3]上求积分，显然可以通过解析解知道结果是2e^3+1=41.171073846375336

先创建一个M文件xex.m

内容如下：

function f=xex(x)

f=x.*exp(x);

然后调用：

>> format long

>> format compact

>> quad(@xex,0,3)

ans =

  41.171073850902332

可见有9位有效数字，精度还是蛮高的。

如果使用quadl：

>> quadl(@xex,0,3)

ans =

  41.171074668001779

反而只有7位有效数字